目标公式：

$$P=U\cdot I\text{延伸：}{W}_{el}=UIt,P=I^{2}R=\frac{U^2}{R}$$

适用范围/假设：

• $P=UI$ 对任何用电器普遍成立（只用了 $U$、$I$ 的定义）。
• 延伸式 $P=I^{2}R=U^2/R$ 额外假设欧姆定律成立（$R$ 恒定的欧姆导体，如电热丝；对灯泡 $R$ 随温度变，只近似成立）。
• 直流或交流有效值（Effektivwerte，S. 5）均适用。

用到的公式

公式	名称	Formelnheft
$W=\mathrm{\Delta }\phi \cdot Q=U\cdot Q$	Elektr. Verschiebungsarbeit（电位移功）→ 移项得 $U=W/Q$	✅ S. 4 („Elektr. Verschiebungsarbeit")
$I={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }Q}{\mathrm{\Delta }t}}$	Elektrischer Strom（电流强度）	✅ S. 4 („Elektrischer Strom")
$P={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }W}{\mathrm{\Delta }t}}$	Leistung（功率）	✅ S. 2 („$P=\mathrm{\Delta }W/\mathrm{\Delta }t$")
$P_{el}=U\cdot I$	Stromleistung——目标公式本身	✅ S. 4 („Stromleistung")
$W_{el}=Q\cdot U=I\cdot U\cdot t$	Stromarbeit（电功）	✅ S. 4 („Stromarbeit")
$R={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }U}{\mathrm{\Delta }I}}$	Ohm'sches Gesetz（欧姆定律）	✅ S. 4 („Ohm")

✎ 目标公式虽然 ✅ 在 Formelnheft 上，但口试要求会从定义推出——"为什么电压乘电流就是功率"。

推导（Schritt für Schritt）

第 1 步——两个定义

1. 电压＝单位电荷的能量。 S. 4 „Elektr. Verschiebungsarbeit" 给出 $W=U\cdot Q$；移项：$$U=\frac{W}{Q}$$含义：每库仑电荷通过用电器时交出的能量（J/C＝V）。
2. 电流＝单位时间的电荷。 S. 4 „Elektrischer Strom"：$$I=\frac{Q}{t}$$含义：每秒流过导体截面的电荷量（C/s＝A）。

第 2 步——功率＝两个定义的乘积

1. 功率定义（S. 2）：$P={\displaystyle \frac{W}{t}}$（每秒转化的能量）。
2. 拆项——分子分母同乘 $Q$（恒等变形，$Q\ne 0$）：$$P=\frac{W}{t}=\frac{W}{Q}\cdot \frac{Q}{t}$$
3. 代入第 1 步的两个定义：$$\boxed{{\displaystyle P=U\cdot I}}$$口诀："单位电荷的能量 × 单位时间的电荷数"＝单位时间的能量。 单位检验： $\text{V}\cdot \text{A}={\displaystyle \frac{\text{J}}{\text{C}}}\cdot {\displaystyle \frac{\text{C}}{\text{s}}}={\displaystyle \frac{\text{J}}{\text{s}}}=\text{W}$ ✓。
4. 物理图像： 电子在导体中"摩擦"原子实，把这部分能量转成焦耳热（吹风机、电炉）。

第 3 步——延伸一：电功 $W_{el}=UIt$

由 $P=W/t$ 移项 $W=P\cdot t$，代入 $P=UI$：

$$\boxed{{\displaystyle W_{el}=UIt}}$$

与 Formelnheft S. 4 „Stromarbeit $W_{el}=Q\cdot U=I\cdot U\cdot t$" 完全一致（$Q=It$ 即第 1 步定义的移项）。

第 4 步——延伸二：代入欧姆定律

额外假设： 欧姆导体，$R=U/I$ 恒定（S. 4）。

1. 用 $U=RI$ 消去 $U$：$$P=UI=(RI)\cdot I=\boxed{{\displaystyle I^{2}R}}$$
2. 用 $I=U/R$ 消去 $I$：$$P=UI=U\cdot \frac{U}{R}=\boxed{{\displaystyle \frac{U^2}{R}}}$$
3. 应用提示： $I^{2}R$ 解释输电损耗（电流定值时损耗 $\propto R$、$\propto I^2$ → 高压小电流输电）；$U^2/R$ 解释家用电网（$U=230$ V 固定时，大功率电器＝小电阻）。

第 5 步——kWh 换算与算例（验算）

1. 千瓦时： 电表计的是电功 $W_{el}$。$$1\text{kWh}=1000\text{W}\cdot 3600\text{s}=3,6\cdot {10}^6\text{J}$$
2. 算例：吹风机 2000 W / 230 V。
   • 电流：$I={\displaystyle \frac{P}{U}}={\displaystyle \frac{2000\text{W}}{230\text{V}}}\approx 8,70\text{A}$。
   • 电阻（欧姆近似）：$R={\displaystyle \frac{U}{I}}={\displaystyle \frac{230}{8,70}}\approx 26,4\mathrm{\Omega }$。
   • 独立验算（用延伸式回代）：$P={\displaystyle \frac{U^2}{R}}={\displaystyle \frac{{230}^2}{26,4}}={\displaystyle \frac{52900}{26,4}}\approx 2004\text{W}\approx 2000$ W ✓。
   • 用 15 min：$W_{el}=2\text{kW}\cdot 0,25\text{h}=0,5$ kWh $=1,8\cdot {10}^6$ J。
   • 与讲义口径一致（§14.5：$I\approx 8,7$ A、$R\approx 26\mathrm{\Omega }$，远小于 60 W 灯泡的电阻）。

变量表

符号	含义	SI 单位
$P$	（电）功率	W＝J/s
$U$	电压＝单位电荷的能量 $W/Q$	V＝J/C
$I$	电流强度＝单位时间的电荷 $Q/t$	A＝C/s
$W,W_{el}$	（电）功／能量	J（实用单位 kWh，$1\text{kWh}=3,6\cdot {10}^6$ J）
$Q$	电荷量	C
$t$	时间	s
$R$	电阻（欧姆导体中恒定）	Ω＝V/A

关联

• 讲义出处：主题 14 §14.5（定义、简短推导与 230 V/2000 W 算例一致）
• 输电损耗与变压器：主题 14 §14.10
• 功率的力学定义 $P=\mathrm{\Delta }W/\mathrm{\Delta }t$：H02